CAPÍTULO VIII. La ortografía de las expresiones numéricas

1. Los sistemas de numeración

La necesidad de contar está íntimamente ligada al desarrollo de la actividad y el pensamiento humanos. En su origen probablemente se reducía a comprobar la integridad del propio grupo o a llevar la cuenta de las piezas cobradas en la caza. Tras la sedentarización de los grupos humanos, esa necesidad siguió estrechamente vinculada a las actividades cotidianas, cada vez con mayor exigencia: había que contar cabezas de ganado, soldados, reservas en los silos, ventas e ingresos en las transacciones económicas, etc.

En un principio, contar consistía básicamente en establecer una simple correspondencia, de uno a uno, entre los elementos que se deseaba contabilizar y determinados objetos manejables y cercanos. Por ello, los procedimientos de recuento primarios, que aún perviven, son los anatómicos, esto es, aquellos que establecen esa correspondencia con partes del cuerpo humano, y que toman normalmente como base los dedos de la mano o el pie; de ahí derivan los sistemas de cómputo quinarios (con base cinco), decimales (con base diez) y vigesimales (con base veinte). Pero también se usaban sistemas no asociados con la anatomía humana, basados en el recuento de objetos naturales que el hombre tenía a su disposición, como conchas, guijarros, granos…, o de las marcas que podía realizar sobre ellos, como las muescas o incisiones en huesos, o en las cañas o maderos llamados tarjas, procedimiento este último utilizado hasta época muy reciente en las ventas al fiado e incluso como sistema de registro y control de la hacienda británica hasta el siglo XIX. Otros sistemas inicialmente muy simples, como el recuento de los nudos hechos en una cuerda, alcanzaron en ciertas culturas un altísimo grado de sofisticación, como se aprecia en los quipus de los incas, cuyo complejo sistema de colores y nudos de diversos tamaños no tenía como fin exclusivo llevar registros contables, sino dejar constancia de todos los acontecimientos y saberes relevantes para la comunidad.

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Como pone de manifiesto su etimología, los términos dígito ‘número que puede expresarse con una sola cifra’ (del lat. digĭtus ‘dedo’) y cálculo ‘cómputo o cuenta’ (del lat. calcŭlus ‘piedrecita’) están, en su origen, claramente relacionados con los sistemas más primitivos de cómputo.

Los primeros procedimientos de recuento no implican necesariamente la existencia de un sistema de numeración, aunque sean su germen directo, ya que se limitan, como se ha dicho, a establecer una mera correspondencia entre los elementos que deben ser contados y los objetos que los representan, ya sean los dedos de la mano, guijarros o muescas en un trozo de madera. Un sistema de numeración implica establecer un signo (de carácter simbólico o lingüístico) para representar cada uno de los números, esto es, de las entidades abstractas que expresan las diversas cantidades o conjuntos de unidades. Y solo cuando se introduce la idea de orden, una sucesión fija de símbolos o de palabras, susceptible de ser recordada secuencialmente, puede pasar a identificarse con la serie de los números naturales. A partir de ese momento, contar es asociar un número a cada objeto por medio del símbolo o la palabra que lo representa.

En función del número o conjunto de unidades adoptado como base del sistema de numeración, existen los ya mencionados quinario, decimal y vigesimal (del que quedan vestigios, por ejemplo, en los numerales franceses: quatre-vingt ‘ochenta’ significa literalmente ‘cuatro veintes’). También se ha usado históricamente en muchas civilizaciones el sistema duodecimal (de base doce) —que toma como referencia el número de falanges de los dedos de la mano, excluido el pulgar, que es con el que se van señalando las de los demás dedos (4 [dedos] × 3 [falanges] = 12)—; de este sistema quedan huellas, por ejemplo, en la costumbre de contar por docenas, o en algunas unidades de medida inglesas, como el pie, que equivale a doce pulgadas. Y hay otros sistemas con bases menos intuitivas, como el sexagesimal (de base sesenta), que, utilizado en Babilonia para la elaboración del calendario y las mediciones astronómicas, ha pervivido en nuestra civilización en el sistema de cómputo del tiempo (una hora = sesenta minutos; un minuto = sesenta segundos), así como en la medición de los ángulos de la circunferencia.

Los números pueden representarse en la escritura a través de símbolos, denominados cifras, o de palabras, denominadas numerales. En la sección 2 de este capítulo se analizan los dos sistemas de representación numérica de tipo simbólico empleados en las lenguas de alfabeto latino como la nuestra, esto es, la numeración romana y la numeración arábiga, mientras que la sección 3 está específicamente dedicada a la ortografía de los numerales españoles.

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Aunque se usen de manera indistinta en la lengua común, los términos número y cifra no deben confundirse: los números son entidades abstractas que expresan cantidad, mientras que las cifras son los símbolos que se utilizan para representar gráficamente los números. A su vez, el término cifra puede usarse con dos sentidos: para referirse a cada uno de los símbolos que componen individualmente la representación gráfica de un número (que, en la numeración arábiga decimal, son los comprendidos en la serie del 0 al 9) o para referirse al conjunto formado por varios de ellos en la representación de un número concreto. Por eso decimos, por ejemplo, que el número 327 se compone de tres cifras, pero también que 327 es la cifra que representa el número correspondiente. Con el primer sentido indicado, cifra y dígito son sinónimos, de ahí que también pueda decirse que el número 327 tiene tres dígitos.

Las cifras o dígitos son símbolos propios de los sistemas de notación numérica. En función de cómo actúan y se combinan esos símbolos entre sí, pueden establecerse dos tipos esenciales de sistemas de numeración: los acumulativos y los posicionales.

En los sistemas de numeración acumulativos, cada signo tiene un valor fijo, por lo que el valor total de una expresión numérica resulta de la suma del valor de cada uno de sus componentes. Así, en los sistemas acumulativos puros la posición que ocupe cada signo en la expresión numérica no altera el valor final de esta; por ejemplo, en un sistema de esa naturaleza donde F = 1 y N = 10, el número veintiuno podría escribirse tanto NNF como FNN, pues ambas secuencias suman esa cantidad. Pero existen también sistemas de numeración de tipo acumulativo en los que la posición de los signos sí es relevante para calcular el valor final de toda la expresión, aunque no para el valor de cada signo, que se mantiene fijo. Así sucede en la numeración romana tal como la conocemos hoy, en la que la posición de un signo respecto de otro puede indicar bien adición, bien sustracción: VI = 6, pero IV= 4, siendo en ambas I = 1 y V = 5.

En los sistemas de numeración posicional, en cambio, el valor de cada signo viene determinado por el lugar que ocupa dentro de la expresión numérica, de modo que un mismo signo tiene un valor distinto según su posición: así, en la expresión numérica 537, el 3 representa el valor 30, ya que ocupa el lugar de las decenas y debe multiplicarse por 10, mientras que en 23 ese mismo signo representa el valor 3, pues está en el lugar que corresponde a las unidades. Para que un mismo signo pueda tener valores diferentes según su posición es necesario que exista la idea o concepto del cero numérico, que muchos sistemas antiguos señalaban mediante un simple espacio en blanco, con el consiguiente riesgo de equívocos en la interpretación de las cifras. La creación y uso de un símbolo propio para representar el cero fue un hecho revolucionario, que cambió el rumbo de los sistemas de numeración (v. § 2.2).

El crecimiento del grado de civilización, el aumento de las dimensiones de los grupos humanos y la progresiva complejidad de sus relaciones sociales y sus transacciones económicas se dieron de forma paralela al desarrollo de la aritmética, lo que favoreció el triunfo de los sistemas posicionales sobre los acumulativos. La ventaja de los sistemas posicionales radica en su capacidad de generar la representación gráfica de cualquier número de forma inequívoca y utilizando un conjunto muy reducido de símbolos diferentes, lo que vino a facilitar enormemente la realización de las operaciones aritméticas que hasta ese momento se hacían empleando diversos instrumentos de cálculo manual, como el ábaco.

     

    Real Academia Española y Asociación de Academias de la Lengua Española:
    Ortografía de la lengua española [en línea], https://www.rae.es/ortografía/los-sistemas-de-numeración. [Consulta: 17/07/2024].

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