¿Es «con el mismo hacha» o «con la misma hacha»?

Lo adecuado es con la misma hacha. Aunque los nombres femeninos que empiezan por /a/ tónica se combinan con el (el hacha), se usa la si entre el artículo y el nombre se intercala un adjetivo: la misma hacha, la fría agua, la ágil águila.