Elegido académico honorario el 1 de diciembre de 1803, supernumerario el 16 de febrero de 1804 y académico de número el 8 de noviembre de 1808, fue secretario perpetuo de la RAE desde el 9 de julio de 1814.

Sacerdote y bibliotecario, Francisco Antonio González Oña estudió Filosofía y Teología en la Universidad de Alcalá. Más tarde, se incorporó a esa misma universidad como catedrático de árabe y hebreo.

Ocupó el cargo de Bibliotecario Mayor de la Biblioteca Real. Juan Martín Abad señala en el Diccionario biográfico español de la Real Academia de la Historia que Francisco Antonio González «dirigió, con su compañero Pedro García García, el catálogo de impresos que se hizo siguiendo las reglas del segundo, y fue autor de los primitivos índices de manuscritos de la Biblioteca Real, aunque aprovechando el trabajo realizado por sus antecesores». Asimismo, fue rector y administrador del Hospital de la Concepción en Madrid.

Además, fue distinguido con la Cruz de la Orden de Carlos III en 1817. Un año más tarde, lo nombraron miembro de número de la Real Academia de Historia.

Francisco Antonio González murió en Madrid el 23 de octubre de 1833.